1.1.19 证明: 当$x$是非负整数时，$\lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor = \lfloor \sqrt x \rfloor$。

证明: 不妨设$ x = k^2 + m + \lbrace x \rbrace $，其中$\lbrace x \rbrace$表示$x$的小数部分， $ k^2 < x < (k+1)^2 $，k是正整数。因此$ \lfloor \sqrt{\lfloor x \rfloor} \rfloor = \lfloor \sqrt{\lfloor k^2 + m + \lbrace x \rbrace \rfloor} \rfloor = k $，而且 $ \lfloor \sqrt {x} \rfloor = \lfloor \sqrt{k^2 + m + \lbrace x \rbrace} \rfloor = k$

1.1.20 证明: 如果m为正整数，则当x为实数时，$\lfloor mx \rfloor = \lfloor x \rfloor + {\lfloor x + (1/m) \rfloor} + {\lfloor x + (2/m) \rfloor} + ... + {\lfloor x + (m-1)/m \rfloor} $。

证明: 不妨设$ k/m \leq \lbrace x \rbrace < (k+1)/m $，其中$0 \leq k < m $，并且$k$是整数。因此$$ \lfloor x \rfloor + {\lfloor x + (1/m) \rfloor} + {\lfloor x + (2/m) \rfloor} + ... + {\lfloor x + (m-1)/m \rfloor}$$的前$m - k$项的结果都是$\lfloor x \rfloor$,而后$k$项的结果都等于$\lfloor x \rfloor + 1$。
而$\lfloor mx \rfloor = \lfloor m\lfloor x \rfloor + m\lbrace x \rbrace \rfloor = \lfloor m\lfloor x \rfloor + k\rfloor = m\lfloor x \rfloor + k$

1.1.28 证明: 两个可数集合的并是可数的。

证明: 我们在奇数次数第一个集合的元素，在偶数次数第二个集合的元素，因此两个可数集合的并是可数的。

1.1.29 证明: 可数多个集合的并是可数的。

证明: 我们把这些集合按照如下进行排列，组成了一个两个维度上都是可数的矩阵。如下所示，是这些可数集合排列成的矩阵。我们按照对角线，进行数,即 $s_{11} s_{12} s_{21} s_{13} s_{22} s_{31} \ldots $。因此，可数多个集合的并是可数的。
$$\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & s_{13} & \ldots \\
s_{21} & s_{22} & s_{23} & \ldots \\
s_{31} & s_{32} & s_{33} & \ldots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{bmatrix}
$$

1.1.41 实数$\alpha$的谱序列(spectrum sequence)是第$n$项为$\lfloor n\alpha \rfloor$的一个序列。证明: 每个正整数仅在$\alpha$的谱序列或$\beta$的谱序列中出现一次，当且仅当$\alpha$和$\beta$是无理数且$1 / \alpha + 1 / \beta = 1$。

证明:

引理1: 如果 $ \alpha \ne \beta $，则$\alpha$和$\beta$的谱序列不同。
不妨设 $ \alpha > \beta $，令$ r = \alpha - \beta $，则必然存在正整数$k$，使得 $ kr \ge 1 $，因此 $ \lfloor k\beta \rfloor = \lfloor k\alpha + kr \rfloor \ne \lfloor k\alpha \rfloor $。

我们先证明 当$\alpha$和$\beta$是无理数且$1 / \alpha + 1 / \beta = 1$，每个正整数仅在$\alpha$的谱序列或$\beta$的谱序列中出现一次。

假设$\alpha$和$\beta$是有理数，显然$\alpha$和$\beta$都不是0。必然存在正整数m和n，使得$m\alpha = n\beta$，这与结论 每个正整数仅在$\alpha$或$\beta$中出现一次矛盾。因此$\alpha$和$\beta$必然是无理数。因此，必有对于任意的正整数m和n，都满足$m\alpha = n\beta$。
对于整数$k$, 令$S(k)$表示序列$m\alpha$和序列$n\beta$中小于k的个数。先不考虑重复问题，如果重复则重复计算。
由$m\alpha < k $，可知 $m<k/\alpha$，因此$m$的最大值是 $\lfloor k/\alpha \rfloor$。同理可知，$n$的最大值是$\lfloor k/\beta \rfloor $。
因此$ S(k) = \lfloor k/\alpha \rfloor + \lfloor k/\beta \rfloor$。
由$ k/\alpha - 1 < \lfloor k/\alpha \rfloor < k/\alpha $以及$ k/\beta - 1 < \lfloor k/\beta \rfloor < k/\beta $可知，$ k/\alpha + k/\beta -2 < S(k) < k/\alpha + k/\beta $。由于$S(k)$是一个整数函数，因此$S(k) = k - 1$。$S(k)$每次随着k的增加而增加一个。当k是2的时候，小于2的序列要么在$m\alpha$中，要么在$n\beta$中，因为数量仅有一个。当k是3时，在2-3之间的序列也仅有一个，要么在$m\alpha$中，要么在$n\beta$中。根据数学归纳法，可知连续的间隔为1的整数区间都有且仅有一个$m\alpha$或$n\beta$，因此可知每个整数要么是$\alpha$的谱序列，要么是$\beta$的谱序列。

接下来，证明逆命题，采用反证法。

假设$1/\alpha + 1/\beta \ne 1$，则必然存在一个无理数$r$，使得$ 1/\alpha + 1/r = 1$。很明显，$\beta \ne r$。由上面的证明可知，每个正整数要么出现在$\alpha$的谱序列中，要么出现在$r$的谱序列中。由引理1可知，$\beta$的谱序列和$r$的谱序列必然有不同的元素，不妨设为整数$p$。整数$p$既不在$\alpha$的谱序列中，也不在$\beta$的谱序列中。因此，这与命题条件矛盾。因此，每个正整数仅在$\alpha$的谱序列或者$\beta$的谱序列中出现一次，必然有$1/\alpha + 1/\beta = 1$。

1.2.5 用$n$以及$\lfloor \sqrt n \rfloor$表达求和公式$\sum_{k=1}^{n} \lfloor \sqrt k \rfloor$.
答: 首先,我们数$ \lfloor \sqrt k \rfloor >= 1$的个数,总共有$n$个.然后$ \lfloor \sqrt k \rfloor >= 2$的个数,有$n - (2^2 - 1)$个.$ \lfloor \sqrt k \rfloor \ge 3$的个数有$n - (3^2 - 1)$. $ \lfloor \sqrt k \rfloor \ge m$的个数有$ n - (m^2 - 1)$.
因此 $\sum_{k=1}^{n} \lfloor \sqrt k \rfloor = \sum_{m=1}^{\lfloor \sqrt n \rfloor} {n - (m^2 - 1)} = (n+1){\lfloor \sqrt n \rfloor} - {\lfloor \sqrt n \rfloor}(\lfloor \sqrt n \rfloor + 1)(2\lfloor \sqrt n \rfloor + 1)/6 $

1.3.17 用数学归纳法证明: 如果$n$为正整数,则$(2n)! < 2^{2n}(n!)^2$.
证明: 对于$n=1$,结论明显成立. 假设$n$成立, $2^{2(n+1)}((n+1)!)^2 = 2^{2n}(n!)^2(2n+2)(2n+2) > (2n+2)(2n+1)2^{2n}(n!)^2 > (2n)!(2n+1)(2n+2) = (2n+2)!$.

1.3.18 用数学归纳法证明: $x-y$是$x^n - y^n$的因子,其中$x$和$y$是变量.
证明: $x-y$显然是$x^1 - y^1$的因子.$x-y$显然是$x^2 - y^2$的因子.假设$x^{n-1} - y^{n-1}$和$x^n - y^n$均有因子$x-y$. $x^{n+1} - y^{n+1} = (x^n - y^n)(x + y) - xy(x^{n-1} - y^{n-1}) $. 根据假设,可知$x^{n+1} - y^{n+1}$也有因子$x-y$.

1.3.33 正实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$的算术平均和几何平均分别是$A=(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) / n$和$G = (a_1 a_2 \ldots a_n)^{\frac 1 n}$